Variablen, die für Vektoren stehen, werden normalerweise mit einem Pfeil gekennzeichnet () oder fett geschrieben (a). (Anmerkung: In diesem Artikel wird durchgängig die Pfeilschreibweise benutzt, in anderen Library-Beschreibungen kommt aber auch der Fettdruck vor.) Ist der Betrag, also die Länge, des Vektors gemeint, wird der Vektor mit zwei senkrechten Betragsstrichen eingeklammert:

Grafisch werden Vektoren normalerweise als Pfeile dargestellt:

A wird in diesem Fall als Schaft, Ausgangs- oder Startpunkt und B als Spitze oder Endpunkt des Vektors genannt. Die Richtung des Pfeiles gibt die Richtung des Vektors an und die Länge seinen Betrag. Dieser Vektor kann auch als genannt werden und sein Betrag als bzw. . Dabei ist zu beachten, dass der Vektor nicht an die Punkte A und B gebunden ist, sondern, dass diese ihn ca. definieren.

Um mit Vektoren sinnvoll rechnen zu können, ist die grafische Notation natürlich unpraktisch. In einem n-dimensionalem Euklidischen Raum können Vektoren als Linearkombination von n Basisvektoren dieses Raumes dargestellt werden. In dem kartesischen Koordinatensystem nimmt man dafür n paarweise aufeinander normal stehende Einheitsvektoren.

Als Beispiel für diesen Artikel soll stets der dreidimensionale Vektorraum R³ mit einem kartesischen Koordinatensystem dienen. Sind , und die Einheitsvektoren in Richtung der x-, y- bzw. z-Achse , kann jeder Vektor als

angeschrieben werden. Die reellen Zahlen a₁, a₂ und a₃ sind eindeutig durch festgelegt. Häufig schreibt man Vektoren auch kurz als 3x1- oder 1x3-Matrix:

Mit dieser Schreibweise ist zwar die Wahl des Koordinatensystems nicht festgehalten, falls nicht anderes angegeben ist aber stets das kartesische Koordinatensystem gemeint, da es für viele Rechnungen am einfachsten ist.

Man kann dann die Koordinaten eines Vektor auch so darstellen:

Aus dem Satz von Pythagoras folgt, dass der Betrag des Vektors folgendermaßen berechnet werden kann:

Der Winkel zwischen zwei Vektoren und kann mit folgender Formel berechnet werden:

Die Summe der beiden Vektoren

berechnet sich als:

Die Vektoraddition kann man graphisch interpretieren indem man den Schaft des zweiten Vektors an die Spitze des ersten Vektors anschließt. Der Pfeil vom Schaft des ersten Vektors bis zur Spitze des zweiten Vektors repräsentiert den Ergebnisvektor:

Die Vektoren und können hier als Seiten eines Parallelogramms aufgefasst werden und der Ergebnisvektor als die (längere) Diagonale. Für die Addition von Vektoren gilt das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz.

Die Differenz dieser beiden Vektoren ist:

Die geometrische Interpretation der Subtraktion von zwei Vektoren ist: Zwei Vektoren werden subtrahiert, indem man den Schaft des zweiten Vektors an den Schaft des ersten Vektors anschließt. Der Pfeil des Ergebnisvektors beginnt in der Spitze des zweiten Vektors und endet in der Spitze des ersten Vektors. Alternativ kann man auch die zwei Spitzen zusammenschließen und die Schäfte verbinden.

Die Subtraktion kann auch als Addition des entgegengesetzt orientierten Vektors aufgefasst werden.

Vektoren können mit reellen Zahlen, häufig Skalare genannt, um sie von Vektoren unterscheiden zu können, multipliziert werden:

Die Länge des resultierenden Vektors ist daher . Wenn der Skalar negativ ist, ändert sich zusätzlich die Richtung um 180°. Die folgende Grafik illustriert zwei Beispiele (Multiplikation mit -1 und 2):

Für die Vektoraddition und die Multiplikation mit einem Skalar gilt das Distributivgesetz:

Das Skalarprodukt (oder Inneres Produkt) zweier Vektoren und , so genannt weil das Ergebnis ein Skalar ist, wird notiert als und ist definiert als

wobei θ der zwischen den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel ist. (siehe auch Cosinus). In dem Kartesischen Koordinatensystem berechnet es sich als

Geometrisch bedeutet das Skalarprodukt eine Multiplikation der Länge des ersten Vektors mit der Länge der Projektion des zweiten Vektors auf den ersten Vektor. Daher ist das Skalarprodukt zweier normal aufeinander stehender Vektoren stets 0. Diese Operation wird häufig in der Physik gebraucht, zu dem Beispiel um die Arbeit zu berechnen, wenn Kraft und Weg nicht in der selben Richtung verlaufen.

Für das Skalarprodukt gilt das Kommutativgesetz.

Das Kreuzprodukt (auch vektorielles Produkt, äußeres Produkt oder Vektorprodukt) (notiert als ) zweier Vektoren in einem dreidimensionalen euklidischen Vektorraum ist ein bestimmter Vektor, der normal (senkrecht in dem Sinne des Skalarprodukts) auf der von und aufgespannten Ebene steht.

Im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum R³ ist das Kreuzprodukt von a und b definiert als

wobei θ der von den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel (siehe auch Sinus), und der zu beiden Vektoren normale Einheitsvektor ist.

Diese Definition hat allerdings das Problem, dass es zwei Vektoren gibt, die normal auf und stehen. Den korrekten Vektor bestimmt die Orientierung des Vektorraumes. Das heutzutage benutzte Koordinatensystem ist "rechtshändig" (ein so genanntes "Rechts-System"), d.h. sowohl die Koordinatenachsen (x, y und z) als auch die Vektoren , und verhalten sich wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand, wenn man sie in dem rechten Winkel zueinander von der Handfläche wegstreckt (daher häufig Rechte-Hand-Regel genannt).

Graphisch lässt sich das Kreuzprodukt darstellen als:

Im Kartesischen Koordinatensystem kann das Kreuzprodukt berechnet werden als:

Der Betrag von entspricht der Fläche des von und aufgespannten Parallelogramms.

Für das Kreuzprodukt gilt nicht das Kommutativgesetz sondern das sogenannte Anti-Kommutativgesetz:

Es gibt eine Verallgemeinerung des Kreuzprodukts auf n-dimensionale Räume, die allerdings nicht mehr ca. zwei Vektoren verknüpfen, sondern n-1 Vektoren. Das Kreuzprodukt dieser Vektoren ist ein Vektor, der auf allen senkrecht steht und dessen Länge und Richtungssinn von den Längen und der Reihenfolge der Argumente abhängt. Siehe dazu: Kreuzprodukt.Siehe auch: Analytische Geometrie, Spatprodukt, Vektorgrafik